题文

甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12．如果甲乙两数的差是18，则甲数是多少？乙数是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

解法一：12变成互质的两个数的乘积：①12=4×3，②12=1×12 先看①，说明甲乙两数：一个是它们最大公约数的4倍，一个是它们最大公约数的3倍． 甲乙两数的差除以上述互质的两数（即4和3）之差，所得的商，即甲乙两数的最大公约数． 18÷（4-3）=18； 甲乙两数，一个是：18×3=54，另一个是：18×4=72． 再看②，18÷（12-1）=1 7 11 ，不符合题意，舍去． 解法二：设最大公约数为a，则最小公倍数为12a， 因为这两个数分别为b×a，c×a， 由题知b×c=12， 所以①b=2，c=6 ②b=3，c=4 ③b=1，c=12． 又因为（12a÷b）-（12a÷c）=18； 将①代入题中，（12a÷2）-（12a÷6）=18，a=4.5（舍去）； 将③代入题中，（12a÷1）-（12a÷12）=18，a= 18 11 （舍去）； 将②分别代入题中可知，（12a÷3）-（12a÷4）=18，a=18，符合； 所以b=3，c=4，a=18，所以这两数分别为12a÷b=72，12a÷c=54． 答：甲数是72，乙数就是54；如乙数是54，甲数就是72；

据专家权威分析，试题“甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12．如果甲乙两数..”主要考查你对  最大公因数（最大公约数），最小公倍数  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最大公因数（最大公约数），最小公倍数

考点名称：最大公因数（最大公约数），最小公倍数

• 最大公因数（最大公约数）：
  任何两个自然数都有公因数1，（除零以外）公因数中（几个）最大的称为最大公因数；
  最小公倍数：
  在两个或两个以上的自然数中，如果他们有相同的倍数，这些倍数中，最小的称为这些整数的最大公倍数。

• 最大公约数的求法：
  （1）用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求两个数的最大公约数。
  （3）特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。
  如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。
  
  最小公倍数的方法：
  （1）用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求。
  （3）特殊情况：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
  如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。