题文

（1）证明：奇数的平方被8除余1． （2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．

题型：解答题  难度：中档

答案

设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），则（2n+1）2=4n2+4n+1， 只要证得8能整除（4n2+4n）即可， 显然4能整除（4n2+4n），而n2与n奇偶性相同，所以2能整除（n2+n）， 因此8能整除（4n2+4n），所以可以得出（4n2+4n+1）被8除余1， 即奇数的平方被8除余1． （2）由（1）可知10个奇数的平方之和被8除余数为2， 2006除以8余数为6，两数被8除余数不同， 也就证明2006不能表示为10个奇数的平方之和．

据专家权威分析，试题“（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为1..”主要考查你对  有理数定义及分类，有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类有理数除法

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。