题文

是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根？

题型：解答题  难度：中档

答案

设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2-4p2=n2， 规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p2．（5分） 由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数， 因此，有如下几种可能情形： q-n=2 q+n=2p2 、 q-n=4 q+n=p2 、 q-n=p q+n=4p 、 q-n=2p q+n=2p 、 q-n=p2 q+n=4. 消去n，解得q=p2+1，q=2+ p2 2 ，q= 5p 2 ，q=2p，q=2+ p2 2 ．（10分） 对于第1，3种情形，p=2，从而q=5； 对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）； 对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）． 又当p=2，q=5时，方程为2x2-5x+2=0，它的根为x1= 1 2 ，x2=2，它们都是有理数． 综上所述，存在满足题设的质数．（15分）

据专家权威分析，试题“是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根..”主要考查你对  有理数定义及分类，一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类一元二次方程根的判别式

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b