题文

设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2- 1 4 (a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．

题型：解答题  难度：中档

答案

要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p?q，p?q均为大于1的正整数即可．证明：m=(ab+cd)2- 1 4 (a2+b2-c2-d2) =[ab+cd+ 1 2 (a2+b2-c2-d2)][ab+cd- 1 2 (a2+b2-c2-d2) = 1 4 [2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2] = 1 4 [(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2] = 1 4 (a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b) 因为m是非零整数，则 1 4 (a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数． 由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除， 所以四个数均为偶数． 所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数． 所以m= 1 4 （2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4， 所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0， 所以|m|是一个合数．

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有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数