题文

已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数． 证明：（1）b与c两数必为一奇一偶；（2）2（a+b+1）是完全平方数．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵a2+b2=c2， ∴a2=c2-b2=（c+b）（c-b）， 因为a是质数，而（c+b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a2，得到c=b+1， 则b，c是两个连续的正整数， ∴b与c两数必为一奇一偶； （2）将c=b+1代入原式得： a2+b2=（b+1）2=b2+2b+1 得到a2=2b+1 则a2+2a+1=2b+1+2a+1=2（a+b+1） 左边等于（a+1）2是一个完全平方数， 所以右边2（a+b+1）是一个完全平方数，得证．

据专家权威分析，试题“已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数．证明：（1）b与..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数