小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+),善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=(m+n)(其中a、b、m、n均为正整数),则有a+b=m2+2n2-八年级数学
题文
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+),善于思考的小明进行了以下探索: 设a+b=(m+n)(其中a、b、m、n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn, ∴a= m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题: (1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=(m+n),用含m、n的式子分别表示a、b,得:a= , b= ; (2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空: + =( + ); (3)若a+4=(m+n),且a、m、n均为正整数,求a的值. |
答案
解:(1)a= m2+3n2 ·····1分 b=2mn (2 )4 , 2 , 1, 1 (答案不唯一) (3)根据题 <http://gk.> 意得, ∵2mn=4,且m、n为正整数, ∴m=2,n=1或m=1,n=2. ∴a=13或7 |
据专家权威分析,试题“小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子..”主要考查你对 二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简
考点名称:二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简
- 二次根式的加减乘除混合运算:
顺序与师叔运算的顺序一样,先乘方,后乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的。
①在运算过程中,多项式乘法,乘法公式和有理数(式)中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
②二次根式的加减乘除混合运算过程中,每个根式可以看作是一个“单项式”,多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
③运算结果是根式的,一般应表示为最简二次根式。
二次根式的化简:
先对分子、分母因式分解,能约分的就约分,能开方的就开方,或先对被开方数进行通分,然后再通过分母有理化进行化简。 二次根式混合运算掌握:
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。二次根式化简方法:
二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容,初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
分母有理化:
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程,以下列出分母有理化的几种方法:
(1)直接利用二次根式的运算法则:
例:
(2)利用平方差公式:
例:
(3)利用因式分解:
例:(此题可运用待定系数法便于分子的分解)
换元法(整体代入法):
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法,是化简的重要方法之一。
例:在根式中,令,即可得到
原式=√(u2+9-6u)+√(u2+25-10u)=√(u-3)2+√(u-5)2=2u-8=2√(x+2)-8提公因式法:
例:计算
巧构常值代入法:
例:已知x2-3x+1=0,求的值。
分析:已知形如ax2+bx+c=0(x≠0)的条件,所求式子中含有的项,可先将ax2+bx+c=0化为x+=,即先构造一个常数,再代入求值。
解:显然x≠0,x2-3x+1=0化为x+=3。
原式==2.
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