题文

我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s= 1 4 [a2×b2-( a2+b2-c2 2 )2] …①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）． 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s= p(p-a)(p-b)(p-c) …②（其中p= a+b+c 2 ．） （1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s； （2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）S= 1 4 [52×72-( 52+72-82 2 )2] ， = 1 2 52(72-11) = 5 2 48 =10 3 ； P= 1 2 （5+7+8）=10， 又S= 10(10-5)(10-7)(10-8) = 10×5×3×2 =10 3 ； （2） 1 4 [a2b2-( a2+b2-c2 2 )2]= 1 4 （ 4a2b2 4 - (a2+b2) 2-2(a2+b2)? c2+(c2) 2 4 ） = 1 16 [c2-(a-b)2][(a+b)2-c2]， = 1 16 （c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c）， = 1 16 （2p-2a）（2p-2b）?2P?（2p-2c）， =p（p-a）（p-b）（p-c）， ∴ 1 4 [a2b2-( a2+b2-c2 2 )] = p(p-a)(p-b)(p-c) ． （说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）

据专家权威分析，试题“我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知..”主要考查你对  二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简

考点名称：二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简

• 二次根式的加减乘除混合运算：
  顺序与师叔运算的顺序一样,先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。
  ①在运算过程中,多项式乘法,乘法公式和有理数(式)中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
  ②二次根式的加减乘除混合运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
  ③运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
  二次根式的化简：
  先对分子、分母因式分解，能约分的就约分，能开方的就开方，或先对被开方数进行通分，然后再通过分母有理化进行化简。
  

• 二次根式混合运算掌握：
  1、确定运算顺序。
  2、灵活运用运算定律。
  3、正确使用乘法公式。
  4、大多数分母有理化要及时。
  5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
  6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
  7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

  二次根式化简方法：
  二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
  分母有理化：
  分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
  （1）直接利用二次根式的运算法则：
  例：
  （2）利用平方差公式：
  例：
  （3）利用因式分解：
  例：（此题可运用待定系数法便于分子的分解）
  
  换元法（整体代入法）：
  换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
  例：在根式中，令，即可得到
  原式=√(u2+9-6u)+√(u2+25-10u)=√(u-3)2+√(u-5)2=2u-8=2√(x+2)-8

  提公因式法：
  例：计算
  
  
  巧构常值代入法：
  例：已知x²-3x+1=0,求的值。
  分析：已知形如ax²+bx+c=0（x≠0）的条件，所求式子中含有的项，可先将ax²+bx+c=0化为x+=，即先构造一个常数，再代入求值。
  解：显然x≠0，x²-3x+1=0化为x+=3。
  原式==2.