题文

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E． （1）求点C的坐标． （2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式． （3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）C（0，12）。 （2）。 （3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形， 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长，证△AOC∽△COB，推出OC2=OA?OB，即可得出答案。 解x2﹣25x+144=0得x=9或x=16， ∵OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB）， ∴OA=9，OB=16。 在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°， 在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠ACO=∠CBA。 ∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB。∴OC2=OA?OB。∴OC=12， ∴C（0，12）。 （2）应用相似三角形求得点D 的坐标，应用待定系数法即可求得直线AD的解析式。 在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。 ∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。 又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。 ∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。 ∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。 ∴，即，解得。 ∴D（6，）。 设直线AD的解析式是y=kx+b， 将A（﹣9，0）和D（6，）代入得： ，解得。 ∴直线AD的解析式是：。 （3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形。 ① 以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个， BQ=CQ=BC=10， ∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO， ∴△BQF∽△BOC。∴。 ∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF=。 ∴OF=16﹣=。∴F（，0）。 ∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，∴Q（8，6）。 设直线QF的解析式是y=ax+c， 代入得：，解得。 ∴直线FQ的解析式是：。 设M的坐标是（x，）， 根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）2+（﹣12）2=（x﹣16）2+（﹣0）2， 解得x1=14，x2=2。 ∴M的坐标是（14，14），（2，﹣2）。 ②以BC为一边时，过B作BM3⊥BC，且BM3=BC=20，过M3Q⊥OB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4⊥BC， 则∠COB=∠M3B=∠CBM3=90°。 ∴∠BCO+∠CBO=90°， ∠CBO+∠M3BQ=90°。 ∴∠BCO=∠M3BQ。 ∵在△BCO和△M3BQ中， ， ∴△BCO≌△M3BQ（AAS）。 ∴BQ=CO=12，QM3=OB=16， OQ=16+12=28， ∴M3的坐标是（28，16）。 同法可求出CT=OB=16，M4T=OC=12，OT=16﹣12=4， ∴M4的坐标是（﹣12，﹣4）。 综上所述，存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形， 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，..”主要考查你对  一元二次方程的定义，一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的定义一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程的定义

• 定义：
  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
  
  一元二次方程的一般形式：
  它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

• 方程特点；
  （1）该方程为整式方程。
  （2）该方程有且只含有一个未知数。
  （3）该方程中未知数的最高次数是2。
  
  判断方法：
  要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
  

• 点拨：
  ①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
  ②任何一个一元二次方程， 经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；
  ③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
  ④项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
  ⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。