题文

设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：假设题中的三个方程都有两个相等的实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为△1，△2，△3， 则有 △1=4b2-4ac=0 ① △2=4c2-4ab=0 ② △3=4a2-4bc=0 ③ ． 由①+②+③得：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0， 有2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0， 即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0， ∴a=b=c，这与已知a，b，c为互不相等的非零实数矛盾， 故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根．

据专家权威分析，试题“设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，命题，定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式命题，定理

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：命题，定理

• 命题的概念：
  判断一件事情的语句，叫做命题。
  命题的概念包括两层含义：
  （1）命题必须是个完整的句子；
  （2）这个句子必须对某件事情做出判断。
  
  公理：
  人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
  
  定理：
  通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
  一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。
  如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
  在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。
  
  经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理，用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

• 命题的分类：
  （按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），
  所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
  所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

  四种命题：
  1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
  2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
  3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
  
  相互关系：
  1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
  2．四种命题的真假关系：
  ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
  ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）

  定理结构：
  定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。
  通常写作「若条件，则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
  逆定理：
  若存在某叙述为A→B，其逆叙述就是B→A。逆叙述成立的情况是A←→B，否则通常都是倒果为因，不合常理。若某叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。
  若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

• 常用数学定理：
  1、每份数×份数=总数
  总数÷每份数=份数
  总数÷份数=每份数
  2、1倍数×倍数=几倍数
  几倍数÷1倍数=倍数
  几倍数÷倍数=1倍数
  3、速度×时间=路程
  路程÷速度=时间
  路程÷时间=速度
  4、单价×数量=总价
  总价÷单价=数量
  总价÷数量=单价
  5 、工作效率×工作时间=工作总量
  工作总量÷工作效率=工作时间
  工作总量÷工作时间=工作效率
  6 、加数+加数=和
  和－一个加数=另一个加数
  7 、被减数－减数=差
  被减数－差=减数
  差+减数=被减数
  8 、因数×因数=积
  积÷一个因数=另一个因数
  9、 被除数÷除数=商
  被除数÷商=除数
  商×除数=被除数

  小学数学图形计算公式：
  1 、正方形 C周长 S面积 a边长
  周长=边长×4 ；C=4a;
  面积=边长×边长； S=a×a
  2 、正方体 V:体积 a:棱长
  表面积=棱长×棱长×6； S棱=a×a×6 ；
  体积=棱长×棱长×棱长； V=a×a×a
  3、 长方形 C周长 S面积 a边长
  周长=(长+宽)×2 ；C=2(a+b) ；
  面积=长×宽 ；S=ab
  4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 c:高
  表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2； S=2(ab+bc+ca)；
  体积=长×宽×高 ；V=abc
  5、 三角形 s面积 a底 h高
  面积=底×高÷2 ；s=ah÷2
  三角形高=面积 ×2÷底
  三角形底=面积 ×2÷高
  6、 平行四边形 s面积 a底 h高
  面积=底×高 s=ah
  7、 梯形 s面积 a上底 b下底 h高
  面积=(上底+下底)×高÷2；s=(a+b)× h÷2
  8、 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
  周长=直径×∏=2×∏×半径； C=∏d=2∏r ；
  面积=半径×半径×∏
  9、 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
  侧面积=底面周长×高；
  表面积=侧面积+底面积×2 ；
  体积=底面积×高 ；
  体积=侧面积÷2×半径
  10、 圆锥体 v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径
  体积=底面积×高÷3