题文

已知m，n为整数，方程x2+(n-2) n-1 x+m+18=0有两个不相等的实数根，方程x2+(n-6) n-1 x+m-37=0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵ n-1 有意义， ∴n-1≥0，即n≥1， 而n为整数，所以n≥1的整数． 又∵方程x2+(n-2) n-1 x+m+18=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即△=（n-2）2（n-1）-4（m+18）＞0①； 又方程x2+(n-6) n-1 x+m-37=0有两个相等的实数根， ∴△′=0，即△′=（n-6）2（n-1）-4（m-37）=0②， ①-②整理得：2n2-10n-47＞0， 令2n2-10n-47=0， 解得n1= 5- 119 2 ，n2= 5+ 119 2 ， ∴n＜ 5- 119 2 或n＞ 5+ 119 2 ， 而n≥1的整数， 所以n＞ 5+ 119 2 的整数． 则n的最小整数为8，并且（8-6）2（8-1）-4（m-37）=0， 解得m=42，为整数满足条件． 所以n的最小整数为8．

据专家权威分析，试题“已知m，n为整数，方程x2+(n-2)n-1x+m+18=0有两个不相等的实数根，..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。