题文

已知关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△=[-（4m+1）]2-4（3m2+m）=4（m+ 1 2 ）2， ∵（m+ 1 2 ）2是非负数， ∴4（m+ 1 2 ）2≥0，即△≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）解关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0得到，x= 4m+1±2(m+ 1 2 ) 2 ， ∴x1=，x2=m． 则由题意，得 3m+1＞2 m＜7 或 3m+1＜7 m＞2 ， 解得， 1 3 ＜m＜7． 即m的取值范围是 1 3 ＜m＜7．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0．（1）求证：无论m取何实..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。