已知:关于x的方程mx2-14x-7=0有两个实数根x1和x2,关于y的方程y2-2(n-1)y+n2-2n=0有两个实数根y1和y2,且-2≤y1<y2≤4.当2x1+x2-6x1x2+2(2y1-y22)+14=0时,求m的取值范围.-数学

题文

已知:关于x的方程mx2-14x-7=0有两个实数根x1和x2,关于y的方程y2-2(n-1)y+n2-2n=0有两个实数根y1和y2,且-2≤y1<y2≤4.当
2
x1+x2
-
6
x1x2
+2(2y1-y22)+14=0时,求m的取值范围.
题型:解答题  难度:中档

答案

∵方程mx2-14x-7=0有两个实数根,则△=196+28m≥0,
∴m≥-7,且m≠0,①
∵方程y2-2(n-1)y+n2-2n=0有两个实数根,则△=4(n-1)2-4(n2-2n)=4>0,
分解因式得,(y-n+2)(y-n)=0,
∴y1=n-2,y2=n,
∵-2≤y1<y2≤4,
∴-2≤n-2<n≤4,
解得,0≤n≤4,
∵x1+x2=
14
m
,x1x2=-
7
m

2
x1+x2
-
6
x1x2
+2(2y1-y22)+14=0变形为
m
7
+
6m
7
+2[2(n-2)-n2]+14=0,
化简得,m=2n2-4n-6.
由二次函数的图象知,
当0≤n≤4时,-8≤m≤10,②
由①②得:-7≤m≤10,且m≠0.

据专家权威分析,试题“已知:关于x的方程mx2-14x-7=0有两个实数根x1和x2,关于y的方程y2..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根与系数的关系

考点名称:一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系:
    如果方程 的两个实数根是那么
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论:
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示:
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

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