题文

已知：关于x的方程mx2-14x-7=0有两个实数根x1和x2，关于y的方程y2-2（n-1）y+n2-2n=0有两个实数根y1和y2，且-2≤y1＜y2≤4．当 2 x1+x2 - 6 x1x2 +2（2y1-y22）+14=0时，求m的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵方程mx2-14x-7=0有两个实数根，则△=196+28m≥0， ∴m≥-7，且m≠0，① ∵方程y2-2（n-1）y+n2-2n=0有两个实数根，则△=4（n-1）2-4（n2-2n）=4＞0， 分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0， ∴y1=n-2，y2=n， ∵-2≤y1＜y2≤4， ∴-2≤n-2＜n≤4， 解得，0≤n≤4， ∵x1+x2= 14 m ，x1x2=- 7 m ， ∴ 2 x1+x2 - 6 x1x2 +2（2y1-y22）+14=0变形为 m 7 + 6m 7 +2[2（n-2）-n2]+14=0， 化简得，m=2n2-4n-6． 由二次函数的图象知， 当0≤n≤4时，-8≤m≤10，② 由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．

据专家权威分析，试题“已知：关于x的方程mx2-14x-7=0有两个实数根x1和x2，关于y的方程y2..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0