题文

已知关于x的一元二次方程x2-x-2m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______； 关于x的方程kx2+(k+2)x+ k 4 =0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______； 已知一元二次方程4x2+mx+9=0有两个相等的实数根，则m=______，此时相等的两个实数根为______．

题型：填空题  难度：偏易

答案

（1）∵方程x2-x-2m=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即△=12-4×1×（-2m）=1+8m＞0， 解得m＞- 1 8 ， ∴实数m的取值范围是m＞- 1 8 ． （2）∵关于x的方程kx2+(k+2)x+ k 4 =0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即△=（k+2）2-4×k× k 4 =4k+4＞0， 解得k＞-1， ∴实数k的取值范围是k＞-1且k≠0． （3）∵方程4x2+mx+9=0有两个相等的实数根， ∴△=0，即△=m2-4×4×9=0， 解得m=±12， 当m=12，方程变为：4x2+12x+9=0，（2x+3）2=0， 解得x1=x2=- 3 2 ； 当m=-12，方程变为：4x2-12x+9=0，（2x-3）2=0， 解得x1=x2= 3 2 ； 故答案为：（1）m＞- 1 8 ；（2）k＞-1且k≠0；（3）±12；当m=12，x1=x2=- 3 2 ；当m=-12，x1=x2= 3 2 ．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2-x-2m=0有两个不相等的实数根，则实数..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。