题文

对于一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠0），下列说法： ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根； ②若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根； ④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④

题型：单选题  难度：中档

答案

①∵a+c=0， ∴a=-c， ∴b2-4ac=b2+4c2≥0， 故方程有实数根；故①正确． ②∵b2+4ac＜0 ∴4ac＜0， ∴-4ac＞0 ∴b2-4ac＞0， 故方程ax2+bx+c=O一定有实数根，故②正确； ③∵a-b+c=0， ∴b=a+c， ∴b2-4ac =（a+c）2-4ac =（a-c）2≥0， 故方程有实数根，但不一定有两个实数根． 故③错误． ④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根， 但c可能等于0，当c=0时， 方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程， 此时只有一个实数根． 故④错误． 故选A．

据专家权威分析，试题“对于一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠0），下列说法：①若a+c=0，方程ax2+..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。