题文

已知关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．（其中m为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k， ①当k=m时，求m的值； ②若记m(k+ 1 k )-2k+5为y，求y与m的关系式； （2）当 1 4 ＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵k为（m-2）x2-（m-1）x+m=0的实数根， ∴（m-2）k2-（m-1）k+m=0．+ ①当k=m时， ∵k为非零实数根， ∴m≠0，方程两边都除以m，得（m-2）m-（m-1）+1=0． 整理，得m2-3m+2=0． 解得m1=1，m2=2． ∵（m-2）x2-（m-1）x+m=0是关于x的一元二次方程， ∴m≠2． ∴m=1． ②∵k为原方程的非零实数根， ∴将方程两边都除以k，得(m-2)k-(m-1)+ m k =0． 整理，得m(k+ 1 k )-2k=m-1． ∴y=m(k+ 1 k )-2k+5=m+4． （2）解法一：△=[-（m-1）]2-4m（m-2）=-3m2+6m+1=-3m（m-2）+1． 当 1 4 ＜m＜2时，m＞0，m-2＜0． ∴-3m（m-2）＞0，-3m（m-2）+1＞1＞0，△＞0． ∴当 1 4 ＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根． 解法二：直接分析 1 4 ＜m＜2时，函数y=（m-2）x2-（m-1）x+m的图象， ∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x轴有两个不同交点． ∴当 1 4 ＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根． 解法三：△=[-（m-1）]2-4m（m-2）=-3m2+6m+1=-3（m-1）2+4． 结合△=-3（m-1）2+4关于m的图象可知，（如图） 当 1 4 ＜m≤1时， 37 16 ＜△≤4； 当1＜m＜2时，1＜△＜4． ∴当 1 4 ＜m＜2时，△＞0． ∴当 1 4 ＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．

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一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。