题文

已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0 （1）若方程有实数根，求k的取值范围 （2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0方程有实数根， ∴b2-4ac=[2（k+4）]2-4k（k-4）≥0， 解得：k≥- 4 3 且k≠0； （2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0． ∴b2-4ac=[2（k+4）]2-4k（k-4）=0， 解得：k=- 4 3 ． 此时原方程化为x2-4x+4=0 ∴x1=x2=2，即b=c=2． 此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形， ∴△ABC的周长为：3+2+2=7； ②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3 代入方程：kx2+2（k+4）x+（k-4）=0得：k×32+2（k+4）×3+（k-4）=0 ∴解得：k=- 5 4 ， ∵x1×x2=bc= k-4 k = - 5 4 -4 - 5 4 = 21 5 =3c， ∴c= 7 5 ， ∴△ABC的周长为：3+3+ 7 5 = 37 5 ．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0（1）若方程有实数根，..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。