题文

定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论： ①当m=-1时，函数图象的顶点坐标是（ 1 2 ，4）；  ②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 3 2 ； ③当m＜0时，函数在x＜ 1 4 时，y随x的增大而增大； ④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．   其中正确的结论有______．（只需填写序号）

题型：填空题  难度：中档

答案

因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1-m，-1-m]； ①、当m=-1时，y=-2x2+2x=-2（x- 1 2 ）2+ 1 2 ，顶点坐标是（ 1 2 ， 1 2 ）；此结论错误； ②、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0，解得：x1=1，x2=- 1 2 - 1 2m ， |x2-x1|= 3 2 + 1 2m ＞ 3 2 ，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 3 2 ，此结论正确； ③当m＜0时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是： m-1 4m ，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时， m-1 4m = 1 4 - 1 4m ＞ 1 4 ，即对称轴在x= 1 4 右边，因此函数在x= 1 4 右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论正确； ④当x=1时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确． 根据上面的分析，②③④都是正确的，①是错误的． 故答案为：②③④．

据专家权威分析，试题“定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，..”主要考查你对  二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。