题文

若抛物线y=-x2+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线y=x2有公共点，求m的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵y=-x2+2ax+b=-（x-a）2+a2+b， ∴顶点坐标为（a，a2+b）， 代入mx-y-2m+1=0中，得ma-（a2+b）-2m+1=0， 即b=ma-a2-2m+1， 联立 y=- x2+2ax+b y=x2 ， 解得-2x2+2ax+b=0， ∵两抛物线有公共点， ∴△=（2a）2-4×（-2）×b≥0， 即a2+2b≥0， a2+2（ma-a2-2m+1）≥0， 整理，得2（a-2）m≥a2-2， 当a=2时，无解， 当a＞2时， m≥ a2-2 2(a-2) = 1 2 [a-2+ 2 a-2 +4]≥ 2 +2，当a=2+ 2 时取等号； 当a＜2时， m≤ a2-2 2a-4 = 1 2 [a-2+ 2 a-2 +4]≤- 2 +2，当a=2- 2 时取等号．

据专家权威分析，试题“若抛物线y=-x2+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线..”主要考查你对  二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。