题文

已知关于x的二次函数y=x2-mx+ m2+1 2 与y=x2-mx- m2+2 2 ，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点． （1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点； （2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标； （3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+ m2+1 2 ， 由于△=（-m）2-4×1× m2+1 2 =-m2-2＜0， 所以此函数的图象与x轴没有交点； 对于关于x的二次函数y=x2-mx- m2+2 2 ， 由于△=（-m）2-4×1×（- m2+2 2 ）=3m2+4＞0 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点． 故图象经过A、B两点的二次函数为y=x2-mx- m2+2 2 ； （2）将A（-1，0）代入y=x2-mx- m2+2 2 ，得1+m- m2+2 2 =0． 整理，得-m2+2m=0． 解之，得m=0，或m=2． 当m=0时，y=x2-1． 令y=0，得x2-1=0． 解这个方程，得x1=-1，x2=1， 此时，B点的坐标是B（1，0）； 当m=2时，y=x2-2x-3． 令y=0，得x2-2x-3=0． 解这个方程，得x1=-1，x2=3， 此时，B点的坐标是B（3，0）． （3）当m=0时，二次函数为y=x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0， 所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小． 当m=2时，二次函数为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，此函数的图象开口向上， 对称轴为直线x=1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．

据专家权威分析，试题“已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22，这两个二次函..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。