题文

如图，抛物线y =ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C． 小题1:（1）求点B、C的坐标； 小题2:（2）求抛物线的解析式；    小题3:（3）求抛物线的顶点M的坐标； 小题4:（4）在直线y =x-3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

小题1:解：（1）在y =x-3中，分别令y =0和x =0，得 x =3和y =-3． ∴ B（3，0），C（0，-3）．  小题2:（2）∵ 抛物线过点A（-1，0）、B（3，0）， ∴ 设抛物线的解析式为：y =a（x+1）（x-3）． ∵ 抛物线过点C（0，-3）， ∴ -3= a（0+1）（0-3）． ∴ a=1． ∴ 抛物线的解析式为：y =（x+1）（x-3）．       ………………… 4分 即y =x2-2x -3． 小题3:（3）由y =x2-2x -3，得y =（x -1）2-4． ∴ 抛物线的顶点M（1，-4） 小题4:（4）如图，存在满足条件的P1（1，-2）和P2（-1，-4）． 作MN⊥y轴于点N，则∠CNM=90°． ∵ M（1，-4），C（0，-3）， ∴ MN=NC=1． ∴ ∠MCN=45°． ∵∠COB=90°，B（3，0），C（0，-3）， ∴ ∠OCB=45°． ∴ ∠BCM=90°．       …………………………………………… 6分 ∴ 要使点P在直线y =x-3上，必有PC=MC. ∠MPC=∠CMP=45°． 则 过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y =x -3于点P1和P2. 在y = x -3中，分别令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1． 则 P1（1，-2）和P2（-1，-4）

略

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。