题文

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线经过点B．

（1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，                          又                    ∴点B的坐标为（-3，1）； （2）抛物线经过点B（-3，1），则得到1=9a-3a-2，         解得，所以抛物线的解析式为； （3）设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形，    过点P1作轴，      可求得点； ②若以点A为直角顶点；     则过点A作，且使得，得到等腰直角三角形    过点作轴，同理可证；  可求得点   经检验，点与点都在抛物线上．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜..”主要考查你对  二次函数的图像，求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。