题文

已知抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）上。 （1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式； （2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由； （3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）取a=1，得抛物线， 其顶点为， 取a=-1，得抛物线， 其顶点为， 由题意有在直线l上，设直线l的解析式为， 则解得： ∴直线l的解析式为； （2）∵抛物线的顶点P坐标为， 显然P在直线上， 又能取到除0以外的所有实数， ∴在上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点； （3）猜想：对于抛物线，将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线上， 证明如下： ∵抛物线的顶点坐标为（）， ∴点A的坐标为， 点B的坐标为， ∵时， ∴点A在抛物线， 同理有B也在抛物线上，故结论成立。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，..”主要考查你对  二次函数的图像，一次函数的图像，求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像一次函数的图像求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于