已知抛物线y=3x2+2x+n,(1)若n=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标;(2)当-1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求n的取值范围.-数学

题文

已知抛物线y=3x2+2x+n,
(1)若n=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)当-1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求n的取值范围.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)当n=-1时,抛物线为y=3x2+2x-1,
方程3x2+2x-1=0的两个根为:x=-1或x=
1
3

∴该抛物线与x轴交点的坐标是(-1,0)和(
1
3
,0);(2分)
(2)∵抛物线与x轴有公共点,
∴对于方程3x2+2x+n=0,判别式△=4-12n≥0,
∴n≤
1
3
.(3分)
①当n=
1
3
时,由方程3x2+2x+
1
3
=0,解得x1=x2=-
1
3
.此时抛物线为y=3x2+2x+
1
3
与x轴只有一个公共点(-
1
3
,0);(4分)
②当n<
1
3
时,
x1=-1时,y1=3-2+n=1+n;
x2=1时,y2=3+2+n=5+n;
由已知-1<x<1时,该抛物线与x轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为x=-
1
3

应有y1≤0,且y2>0即1+n≤0,且5+n>0.(5分)
解得:-5<n≤-1.(6分)
综合①,②得n的取值范围是:n=
1
3
或-5<n≤-1.(7分)

据专家权威分析,试题“已知抛物线y=3x2+2x+n,(1)若n=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标;..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数与一元二次方程

考点名称:二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系:
    函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看:
    二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
    一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
    2、从内容上看:
    二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
    3、相互关系:
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系:
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
    1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
    2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
    3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=

  • 点拨:
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax

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