题文

已知抛物线y=3x2+2x+n， （1）若n=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当n=-1时，抛物线为y=3x2+2x-1， 方程3x2+2x-1=0的两个根为：x=-1或x= 1 3 ． ∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（ 1 3 ，0）；（2分） （2）∵抛物线与x轴有公共点， ∴对于方程3x2+2x+n=0，判别式△=4-12n≥0， ∴n≤ 1 3 ．（3分） ①当n= 1 3 时，由方程3x2+2x+ 1 3 =0，解得x1=x2=- 1 3 ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 1 3 与x轴只有一个公共点（- 1 3 ，0）；（4分） ②当n＜ 1 3 时， x1=-1时，y1=3-2+n=1+n； x2=1时，y2=3+2+n=5+n； 由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=- 1 3 ， 应有y1≤0，且y2＞0即1+n≤0，且5+n＞0．（5分） 解得：-5＜n≤-1．（6分） 综合①，②得n的取值范围是：n= 1 3 或-5＜n≤-1．（7分）

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=3x2+2x+n，（1）若n=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标；..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax