题文

如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC。 （1）点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ； （2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）A（0，4），C（8，0）；
（2） 易得D（3，0），CD=5， 设直线AC对应的函数关系式为，则，解得， ∴， ①当DE=DC时， ∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴， ②当ED=EC时，可得， ③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO， ∴， 即， ∴， 综上，符合条件的点E有三个：，，；
（3）如图，过点P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q， 设P，则Q， ①当时，PQ=， ， ∴， ②当时，PQ=， ， ∴， 故S=16时，相应的点P有且只有两个。

据专家权威分析，试题“如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其..”主要考查你对  二次函数的图像，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像等腰三角形的性质，等腰三角形的判定相似三角形的性质

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号