题文

在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC． （1）试写出四边形DFCE的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围． （2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm2？ （3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由． （4）四边形DFCE的面积S（cm2）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°， ∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t ①S= 1 2 ×12×12- 1 2 ×2t×2t- 1 2 （12-2t）2=-4t2+24t（0≤t≤6）． ②当S=20时，-4t2+24t=20， t2-6t+5=0， 解得t1=5，t2=1； 因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm2． ③当S=40时，-4t2+24t=40， t2-6t+10=0， ∵△=36-40＜0， ∴四边形的面积不能为40． ④四边形面积有最大值和最小值， S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36； 当t=3时，有最大值36，当t=6时，有最小值0． 此时D离A点6cm，D为AB的中点．

据专家权威分析，试题“在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。