题文

（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）； （2）问：是否存在六个整数a、b、c、d、e、f，使得a4+b4+c4+d4+e4+f4=20079？请说明理由（允许利用在（1）中所得到的结论）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设a是奇数，则a=2n+1（n是整数），（1分）a4=（2n+1）4=（4n2+4n+1）2=[4n（n+1）+1]2（2分） 因为n（n+1）为偶数，所以4n（n+1）是8的倍数，（3分） 令4n（n+1）=8t（t是整数），则a4=（8t+1）2=64t2+16t+1=16?（4t2+t）+1，（4分） 即a4被16除所得的余数为1；（5分） （2）不存在．理由如下： 显然，偶数的四次方被16除的余数为0，由（1）知：奇数的四次方被16除的余数为1，而整数可划分为奇数与偶数两大类，所以a4+b4+c4+d4+e4+f4被16除的余数只可能为0、1、2、3、4、5、6．（10分） 另一方面，2007被16除的余数为7，所以20079被16除的余数就是79被16除的余数，注意到79=7×78=7×494=7×（16×3+1）4被16除的余数为7．（14分） 由以上两个方面知：a4+b4+c4+d4+e4+f4与20079被16除的余数永远不可能相同，因此所述的a、b、c、d、e、f不存在．（15分）

据专家权威分析，试题“（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；（2）问：是..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。