题文

求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．

题型：解答题  难度：中档

答案

原式=A=1×3×5×…×1999， 则A=（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×125×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）， 则A=125×[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]， 下面证明两个引理： 引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一 证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7． 则k=8m+i，其中i=1，3，5，7， 那么 k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i， 即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一 引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1 证明：设B=（2n+1）（2n+3）（2n+5）（2n+7） =（4n2+8n+3）（4n2+24n+35） 当n=2m时，B≡1 mod（8） 当n=2m+1时，B≡1 mod（8） 综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1 ∴[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）] ≡1?1?…?（123×127×129）?…1mod（8）， ≡5 mod（8）， ∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数． 综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625．

据专家权威分析，试题“求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．-数学-”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。