题文

一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

设满足题设性质的自然数是x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数，设质数p1＜p2＜p3＜p4，则依题意由kp1p2p3p4+1①，其中k为自然数， 若p1=2，则kp1p2p3p4+1是奇数，与x是偶数不符，所以p1、p2、p3、p4均为奇质数， 设p1=3，p2=5，p3=7，p4=11，则3×5×7×11=1155，所以k=1； 而p1=3，p2=5，p3=11，p4=13时，3×5×11×13=2145＞1999， 所以p1=3，p2=5，p3=7是p1，p2，p3的唯一取值法，这样一来我们只需对p1=3讨论， p4=11时，x1=3×5×7×11+1=1156， p4=13时，x1=3×5×7×13+1=1366， p4=17时，x1=3×5×7×17+1=1786， p4=19时，x1=3×5×7×19+1=1996， 而当p4=23时，x1=3×5×7×23+1＞2000，不符合要求 所以满足条件的自然数共有四个，它们是1156，1366，1786，1996． 故其中最大的一个是1996．

据专家权威分析，试题“一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的数去除时，..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。