题文

一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃： ①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）； ②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a-b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b-a）． 例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为： （1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）． 请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由． （1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． 从（1，1）出发到（3，5）的路径为： （1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2） →（3，4）→（3，8）→（3，5）． 从（1，1）出发到（200，6）的路径为： （1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）； （2）不能到达点（12，60）和（200，5）． 理由如下： ∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数， ∴由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数． ∵如果a＞b，a和b的最大公约数=（a-b）和b的最大公约数， 如果a＜b，a和b的最大公约数=（b-a）和b的最大公约数， ∴由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数． 从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数． ∵1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5． ∴从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．

据专家权威分析，试题“一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。