题文

绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{1，2，3，4，5，6，7，8，9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周上所有十二个数的和，那么数S所有可能的取值情况有______种．

题型：填空题  难度：中档

答案

对于圆周上相邻的三个数{ak，ak+1，ak+2}，ak+ak+1+ak+2可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，{ak，ak+1，ak+2}可以取{1，2，4}或{1，1，5}或{2，2，3}；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为ak，ak+1，ak+2，ak+3，由于ak+ak+1+ak+2和ak+1+ak+2+ak+3都是7的倍数，那么必有7|ak+3-ak，于是ak与ak+3或者相等，或者相差7； 又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到{28，35，42，49，56，63，70，77，84}中的任一个值，总共九种情况． （其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1，2，4，1，2，4，1，2，4，1，2，4，其和为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7，而这样的操作可以进行八次）．

据专家权威分析，试题“绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{1，2，3，4，5，6，7..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。