题文

a、b为正整数，a2+b2除以a+b，商q余r，求满足q2+r=1993的所有序数对（a、b）．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵q2+r=1993，r≥0，∴q≤44，r=1993-q2， 若q＜43，则r≥1993-432=144， 设a2+b2=q（a+b）+r， ∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=2q（a+b）+2r， 则（a+b）2≤88（a+b）+2r＜90（a+b）， ∴（a+b）＜90．则r＜90， 又∵q≤44，∴q=44， ∵a、b为自然数，a-22，b-22为整数，∴a-22，b-22的个数为0，5、1，4或6，9， （1）当（a-22）2，（b-22）2的个位是0，5时， 则 a-22=±20 b-22=±25 或 a-22=±25 b-22=±20 即（a、b）为（42，47），（2，47）或（47，42），（47，2）， 当（a-22）2，（b-22）2的个位是1，4， 则 a-22=±1 b-22=±32 ，或 a-22=±8 b-22=±1 ， a-22=±32 b-22=±1 或 a-22=±31 b-22=±8 ， 即（a，b）为（23，54），（21，54），（30，53），（14，53）或（54，21），（54，23），（53，30），（53，14）， （3） 当（a-22）2，（b-22）2的个位数为6，9时，整数a，b不存在， 综上所述，满足条件的有序对共12组．

据专家权威分析，试题“a、b为正整数，a2+b2除以a+b，商q余r，求满足q2+r=1993的所有序数..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。