题文

对任给的93个互异的正整数a1，a2，…，a93，试证其中一定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am-an）（ap-aq）为1998的倍数．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵1998=37×54=74×27， （1）由抽屉原理可知： 在93个互异的正整数a1，a2，…，a93中，必有两个数除以37后余数相同，设这两个数为am和an，则am-an是37的倍数； 在剩下的91个数中，必有两个数除以54后余数相同，设这两个数为ap和aq，则ap-aq是54的倍数， 故一定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am-an）（ap-aq）为1998的倍数． （2）由抽屉原理可知： 在93个互异的正整数a1，a2，…，a93中，必有两个数除以74后余数相同，设这两个数为am和an，则am-an是74的倍数； 在剩下的91个数中，必有两个数除以27后余数相同，设这两个数为ap和aq，则ap-aq是27的倍数， 故一定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am-an）（ap-aq）为1998的倍数． 综上，一定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am-an）（ap-aq）为1998的倍数．

据专家权威分析，试题“对任给的93个互异的正整数a1，a2，…，a93，试证其中一定存在四个..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。