题文

如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP∥OC，交AC于点P，连结MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S。 （1）求点P的坐标。（用含x的代数式表示） （2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值。 （3）当△APM与△ACO相似时，点P的位置有几种情况？选择一种，并求出点P的坐标。 （4）△PMA能否成为轴对称图形？如能，求出所有点P的坐标；如不能，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解： （1）延长NP交x轴于点D。DA=x，OD=3-x， ∴△PDA∽△COA， ∴PD=x  ∴P（3-x，x） （2）S=（3-x）·x=-x2+2x ∴由顶点坐标公式可求顶点(，)   ∴当x=，S最大值= （3）有三种情况 当△APM∽△ACO时，3-x=x，∴x=，∴p(，2) （4）当PA=PM时, 3-x-x=x, ∴x=1 ∴P（2, ) 当PA=AM时，PA=x，∴3-x=x，∴x=，∴P（，） 当PM=AM时，PM2=（3-2x）2+（x）2 ∴（3-2x）2+（x）2=（3-2x）2 ∴x=0或x=，∴P（3，0）或P（，） ∴P1（2, )，P2（，），P3（3，0），P4（，）

据专家权威分析，试题“如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax