题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α（）． ①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？ ②设，求s与t之间的函数关系式．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）根据题意，得 解得      =    ∴顶点C的坐标为（3，2）； （2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB， ∴∠DCB=∠CBD=45°．             ⅰ）若CQ=CP，则∠PCD=∠PCQ=22.5°．                  ∴当α=22.5°时，△CPQ是等腰三角形．         ⅱ）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，此时点Q与D重合，点P与A重合．                ∴当α=45°时， △CPQ是等腰三角形           ⅲ）若PC=PQ， ∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．            ∴α=0°，不合题意．         ∴当α=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形． ②连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，    ∴∠ACD=∠CAD=， AC= BC=    ⅰ）当时，        ∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°． ∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°．        ∴∠ACQ=∠BPC．        又∵∠CAQ=∠PBC=45°， ∴△ACQ∽△BPC．     ∴AQ·BP=AC·BC=×=8    ⅱ）当时，同理可得AQ·BP=AC·BC=8          ∴

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（5，0）..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的最大值和最小值

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：