题文

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； （2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明； （3）直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点，是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为 又抛物线经过点N（2，3），所以， 解得a=-1 所以所求抛物线的解析式为y= 令y=0，得 解得： 得A（-1，0） B（3，0） ； 令x=0，得y=3，所以 C（0，3）.  （2）四边形CDAN是平行四边形，理由如下： 直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k=1，t=3 直线解析式为y=x+3.  令y=0，得x=-3，故D（-3，0） CD= 连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F. 过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n， 则解得m=1，n=1 所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1 所以DC∥AN. 在Rt△ANF中，AN=3，NF=3， 所以AN= ，所以DC=AN。 因此四边形CDAN是平行四边形.  （3）假设存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点， 设 T（x1，y1） Q（x2，y2） 则由TO2+QO2=TQ2 得： x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2 化简得：x1 x2+ y1 y2 =0 ……① 又由y=-x2+2x+3 和y=mx+2 消去y得：x2 +(m-2)x-1=0 此时△=（m-2）2+4﹥0 恒成立， ∴x1 + x2 =2-m ，x1 x2 =-1. ……② 于是 y1 y2 =（m x1 +2）(m x2 +2) =m2 x1 x2 +2m(x1 + x2)+4 =-3 m2 +4m+4 ……③ 将②③代入①得： -1-3 m2 +4m+4=0 ，3 m2-4m-4=0 ∴ m== 故存在实数m= 使以线段TQ为直径的圆过坐标原点

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x