题文

如图所示，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-l，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B。

（1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（m，m+l）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1））∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0），C（0，4）两点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4； （2））∵点D（m，m+1）在抛物线上 ∴m+l=-m2+3m+4，即m2-2m-3=0 所以，m=-1或m=3 ∵点D在第一象限 ∴点D的坐标为（3，4） 由（1）知OC=OB 所以，∠CBA=45° 设点D关于直线BC的对称点为点M ∵C（0，4） ∴CD∥AB，且CD=3 ∴∠MCB=∠DCB=45° ∴M点在y轴上，且CM=CD=3 ∴OM=1 ∴M（0，1） 即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）； （3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E 由（1）有：OB=OC=4 ∴∠OBC=45° ∵∠DBP=45° ∴∠CBD=∠PBA ∵C（0，4），D（3，4） ∴CD∥OB且CD=3 ∴∠DCE=∠CB0=45° ∴DE=CE= ∵OB=OC=4 ∴BC=4 ∴BE=BC-CE= ∴tan∠PBF=tan∠CBD= 设PF=3t，则BF=5t ∴OF=5t-4 ∴P（-5t+4，3t） ∵P点在抛物线上 ∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4 ∴t=0（舍去）或t= ∴P（-，）。

据专家权威分析，试题“如图所示，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-l，0）、C（0，4）两点，与x轴交..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，垂直的判定与性质，直角三角形的性质及判定，轴对称  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用垂直的判定与性质直角三角形的性质及判定轴对称

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
  a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
  a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
  能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
  能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
  能熟练地运用二次函数解决实际问题。

• 二次函数的其他表达形式：
  ①牛顿插值公式:
  f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)