题文

已知抛物线y=x2-x-2。 （1）求抛物线顶点M的坐标； （2）若抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点，N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线y=（x-）2-， ∴顶点M的坐标为（，-）； （2）抛物线y=x2-x-2与x轴的两交点为 A（-1，0），B（2，0）， 设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b， ∴解得 ∴线段BM所在直线的解析式为y=x-3， 设点N的坐标为（x，-t）， ∵点N在线段BM上， ∴-t=x-3， ∴x=-t+2， ∴S四边形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC=×1×2+（2+t）（-t+2）=-t2+t+3； ∴S与t之间的函数关系式为S=-t2+t+3，自变量t的取值范围为0＜x<； （3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m>，且n=m2-m-2，  PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，分以下几种情况讨论： ①若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2 ∴n=m2-m-2，m2+（n+2）2=（m+1）2+n2+5， 解得m1=，m2=-1， ∵m<，∴m=， ∴P1（，）， ②若∠PCA=90°，则PA2=PC2+AC2 ∴n=m2-m-2，（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5， 解得m3=，m4=0， ∵m> ∴m= ∴P2（，-）， 当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角， ∴存在符合条件的点P，且坐标为（，），（，-）。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2-x-2。（1）求抛物线顶点M的坐标；（2）若抛物线与x轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像直角三角形的性质及判定