题文

如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根。 （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标； （3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵x2-4x-12=0， ∴x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， 又∵抛物线过点A、B、C， 故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），将点C的坐标代入，求得， ∴抛物线的解析式为；
（2）设点M的坐标为（，0），过点N作作NH⊥x轴于点H（如图（1））， ∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB=8，AM=m+2， ∵MN∥BC， ∴△MNA∽△ABC， ∴ ∴ ∴ ∴ = = ∴当m=2时，S△CMN有最大值4， 此时，点M的坐标为（2，0）；
（3）∵点D（4，k）在抛物线上， ∴当x=4时，k=-4， ∴点D的坐标是（4，-4）， ①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFDE， ∵D（4，-4）， ∴DE=4 ∴F1（-6，0），F2（2，0）， ②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0）， 则平行四边形的对称中心为（，0）， ∴E'的坐标为（n-6，4）， 把E'（n-6，4）代入，得n2-16n+36=0， 解得n=，  ，。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；