题文

如图①，已知：四边形OABC中，O为直角坐标系的原点，A点坐标为（1，4），B点在x轴的正半轴上，C点坐标为（8，-4），动点P从点O出发，依次沿线段OA、AB、BC向点C移动。设P点移动的路径为Z，△POC的面积S随着Z的变化而变化的图像如图②所示（其中线段DE//x轴）。 （1）请你确定B、C两点的坐标； （2）当动点P是经过点O、B的抛物线的顶点时， ①求此抛物线的解析式； ②在x轴上是否存在点M，使△PBM与△OBC相似？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）过C作CQ⊥x轴于Q点， 由图（2）得：当P运动到B时， ∵ 即， ∴， ∴B坐标（9，0）；
（2）①抛物线经过O、B点， ∴ 抛物线的对称轴为， ∴对称轴必与边AB相交, 由题意可知，抛物线的顶点在直线AB上且也在对称轴上， 设直线AB的表达式为y=kx+b， 则可得方程  得 ∴ 又由方程组 解之得 ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 把点O的坐标代入得， ∴抛物线的解析式为； ②设在x轴上存在点M。 使△PBM与△OBC相似， ∴ （i）当时，△PBM∽△OBC， 即，BM=5， ∴M（4，0） ∴ （ii）当时，△PBC∽△COB， 即，BM=， ∴M（，0） 所以在x轴上存在点M（4，0）和 （，0） 使△PBM∽△OBC相似。

据专家权威分析，试题“如图①，已知：四边形OABC中，O为直角坐标系的原点，A点坐标为（1，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，三角形的周长和面积，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用三角形的周长和面积相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。