题文

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0），另一个顶点B在第一象限内。 （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式； （2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边形为“筝形”。点Q在（1）的抛物线上，且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形，求点Q的坐标； （3）设△OAB的外接圆⊙M，试判断（2）中的点Q与⊙M的位置关系，并通过计算说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）过B作BC⊥x轴于C， ∵等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0）， ∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°， ∴BC=， ∴B， 设经过O、A、B三点的抛物线的解析式为： 将A（2，0）代入得：， 解得， ∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为 即；
（2）依题意分为三种情况： （ⅰ）当以OA、OB为边时， ∵OA=OB， ∴过O作OQ⊥AB交抛物线于Q， 则四边形OAQB是筝形，且∠QOA=30°， 作QD⊥x轴于D，QD=OD， 设Q，则， 解得：， ∴Q； （ⅱ）当以OA、AB为边时，由对称性可知Q； （ⅲ）当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形， ∴Q或；
（3）点Q在⊙M内， 由等边三角形性质可知的外接圆圆心M是（2）中BC与OQ的交点， 当Q时， ∵MC∥QD， ∴△OMC∽△OQD， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴Q在内， 当Q时，由对称性可知点Q在内， 综述，点Q在内。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，等边三角形OAB的一个顶点为..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，点与圆的位置关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称点与圆的位置关系

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：