题文

如图，已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限。 （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C。 ①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长； ②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标； ③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由题意代入原点到二次函数式 则9-b2=0，解得b=±3， 由题意抛物线的对称轴大于0，， 所以b=3， 所以解析式为y=-x2+3x； （2）根据两个三角形相似的条件，由于在△ECD中，∠ECD=60°， 若△BCP与△ECD相似，则△BCP中必有一个角为60°， 下面进行分类讨论： ①当P点直线CB的上方时，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°， ∴△PCB为钝角三角形， 又∵△ECD为锐角三角形， ∴△ECD与△CPB不相似， 从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似； ②当P点在直线CB上时，点P与C点或B点重合，不能构成三角形， ∴在直线CB上不存在满足条件的P点； ③当P点在直线CB的下方时，若∠BCP=60°，则P点与E1点重合， 此时，∠ECD=∠BCE1， 而， ∴， ∴△BCE与△ECD不相似， 若∠CBP=60°，则P点与A点重合， 根据抛物线的对称性，同理可证△BCA与△CED不相似， 若∠CPB=60°，假设抛物线上存在点P使△CPB与△ECD相似， ∴EF=sin60°×4=，FD=1， ∴ED=， ∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积能同时取得最大值。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
  a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
  a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
  能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
  能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
  能熟练地运用二次函数解决实际问题。

• 二次函数的其他表达形式：
  ①牛顿插值公式:
  f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  
  双根式
  y=a(x-x₁)*(x-x2)
  若ax2+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则y=a(x-x₁)(x-x₂)此抛物线的对称轴为直线x=(x