题文

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA 于点E。

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与 y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点 G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点 C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠COD， ∵AB∥OC， ∴∠ADO=∠COD， ∴∠ADO=∠AOD， ∴AD=AO=2， ∴点D的坐标为（2，2）， ∵OA=2，OC=3， ∴BD=1， ∵DE⊥DC， ∴∠ADE+∠BDC=90°， ∴∠ADE=∠BCD， ∵∠DAE=∠CBD=90°，AD=BC=2， ∴△ADE∽△BCD， ∴AE=BD=1， ∴点E的坐标为（0，1）， ∵OC=3， ∴点C的坐标为（3，0）， 设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 将E、D、C三点坐标代入，得，解得， ∴； （2）EF=2OG成立， 证明：把代入得， ∴点M的坐标为， 设直线DM的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则，解得， ∴， 当x=0时，y=3， ∴点F的坐标为（0，3）， ∴EF=2， 作DH⊥OC于H， ∵DH=AD，∠GHD=∠FAD=90°，∠GDH=∠FDA， ∴△FAD≌△GHD， ∴GH=AF=1， ∴DG=1， ∴EF=2OG； （3）存在； ∵OG=1， ∴CG=2， ①当PG=CG=2时，PG⊥OC， ∴点P的坐标为（1，2）， ∴把x=1代入得， ∴点Q的坐标为； ②当PC=CG时，PC⊥OC， ∴点P就是点B，坐标为（3，2）， 设直线BG的解析式为y=kx+b（k≠0），得出，解得， ∴y=x-1， ∵点Q是直线BG与抛物线的交点， ∴， 解得或， 又∵点Q在第一象限， ∴点Q的坐标为； ③当PG=PC时，点P在CG的垂直平分线上， ∴点P就是点D，点D也是点Q，坐标为（2，2）， ∴综上所述，点Q的坐标为或或（2，2）。

据专家权威分析，试题“已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用全等三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]