题文

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动。 （1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设AC=4x，BC=3x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102， 解得：x=2， ∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x， ∴BP=10-x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴， ∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x2+8x（0＜x≤3）， ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10-x，AQ=14-2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴， 即：， 解得：QH′=（14-x）， ∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x2-x+42（3＜x＜7）； ∴y与x的函数关系式为：y=；
（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB， ∴△APQ∽△ACB， ∴， 即：， 解得：x=，PQ=， ∴PB=10-x=， ∴， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）存在， 理由： ∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ∥AB， ∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线， ∴PC=AP=5， ∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， ∴△BCM的周长最小值为16。

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理相似三角形的判定相似三角形的性质垂直平分线的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：