题文

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

（1）求拋物线的函数表达式； （2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）。 设点A的坐标为（m，n）（m>0）。 ①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标； ②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围； ③当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由拋物线y=ax2+c经过点E（0，16）、F（16，0）得：，解得a=-，c=16， ∴y=-x2+16； （2）①过点P做PG⊥x轴于点G， ∵PO=PF， ∴OG=FG， ∵F（16，0）， ∴OF=16， ∴OG=OF=×16=8，即P点的横坐标为8， ∵P点在拋物线上， ∴y=-×82+16=12，即P点的纵坐标为12， ∴P（8，12）， ∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16， ∴Q点的纵坐标为-4， ∵Q点在拋物线上， ∴-4=-x2+16， ∴x1=，x2=-， ∵m>0， ∴x2=-（舍去）， ∴x=， ∴Q（，-4）； ②-16<m<8; ③不存在； 理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7， ∵P点在抛物线上，∴7=， ∴x1=12，x2=-12， ∵m>0，∴x2=-12（舍去）， ∴x=12， ∴P点坐标为（12，7）， ∵P为AB中点， ∴AP=AB=8， ∴点A的坐标是（4，7）， ∴m=4， 又∵正方形ABCD边长是16， ∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，-9）， ∴点Q的纵坐标为-9， ∵Q点在拋物线上， ∴-9=-x2+16， ∴x1=20，x2=-20， ∵m>0， ∴x2=-20（舍去），x=20， ∴Q点坐标（20，-9）， ∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾， ∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。

据专家权威分析，试题“如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（1..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；