解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y=x²-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）。
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形
理由如下：当y=0时，x²-8x+12=0
∴x₁=2，x₂=6
∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P（4， -4）
∴OP=4
设D（x，2x）
则BD²=（2x）²+（6-x）²
当BD=OP时，（2x）²+（6-x）²=32
解得：x₁=，x₂=2
当x₂=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形。
（3）① 当0＜t≤2时，
 ∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=t
∴PH=t，MH=t，HN=t
∴MN=t
∴S=t·t·=t²；
②当2＜t＜4时，P₁G=2t-4，P₁H=t
∵MN∥OB
∴∽
∴
∴
∴=3t²-12t+12
∴S=t²-（3t²-12t+12）=-t²+12t-12
∴ 当0＜t≤2时，S=t²
当2＜t＜4时，S=-t²+12t-12。