题文

如图（1）所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2。 （1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2）所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

图1                                                           图2

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2）， ∴x=2 又∵tan∠OAC==2， ∴OA=1，即A（1，0）， 又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上， ∴0=12+b×1+2，b=-3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；
（2）存在， 过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示， ∴x=-， ∴AE=OE-OA=-1=， ∵∠APC=90°， ∴tan∠PAE= tan∠CPD ∴， 即， 解得PE=或PE=， ∴点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x+2， ∵点M是直线l′和线段BC的交点， ∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2） ∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t ∴S△BCM=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·（2-t）=MN·（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2）， ∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1 ∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。

据专家权威分析，试题“如图（1）所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；