题文

如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线。 （1）求抛物线的解析式； （2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC， 又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， ∴， 又∵A（-1，0），B（9，0）， ∴， 解得OC=3（负值舍去）， ∴C（0，-3）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9）， 解得a=， ∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9），即y=x2-x-3； （2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0），  ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， ∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°， 连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5， ∴D（4，-5）， ∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴  解得 ∴直线BD的解析式为y=x-9； （3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD， 设射线DP交⊙O′于点Q，则， 分两种情况（如答案图1所示）： ①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）， ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合， 因此，点Q1（7，-4）符合， ∵D（4，-5），Q1（7，-4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x-， 解方程组得 ∴点P1坐标为（）， [坐标为（）不符合题意，舍去]， ②∵Q1（7，-4）， ∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合， ∵D（4，-5），Q2（7，4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17， 解方程组得 ∴点P2坐标为（14，25）， [坐标为（3，-8）不符合题意，舍去]， ∴符合条件的点P有两个：P1（），P2（14，25）。

据专家权威分析，试题“如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：