题文

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E，点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。 （1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？ （3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）t =（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C， 此时，QC=35×3=105， ∴BQ的长为135-105=30； （2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50+75-5t=3t，解得t=， 经检验，当t=时，有PQ∥DC； （3）①当点E在CD上运动时，如图2， 分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而 FH= AD=75，于是BF=CH=30， ∴DH=AF=40， 又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t。（注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2；  ②当点E在DA上运动时，如图1， 过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC-CH=3t-30， ∴S= S梯形QCDE=（ED+QC）DH =120 t-600； （4）△PQE能成为直角三角形， 当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35， ①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2， 过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形， ②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1， 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合， 即5t-50+3t-30≠75，解得t≠，  ③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3， 由ED＞25×3-30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角， 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角，对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C 重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE 为直角三角形， 综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35。

图1 图2 图3 图4

据专家权威分析，试题“如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，平行线的性质，平行线的公理，直角三角形的性质及判定，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用平行线的性质，平行线的公理直角三角形的性质及判定梯形，梯形的中位线

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；