题文

如图，在⊙M中，所对的圆心角为120°，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系。

（1）求圆心M的坐标； （2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ABCD的最大面积； （4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）如图，连接MA、MB， 则∠AMB=120°， ∴∠CMB=60°，∠OBM=30度 ∴OM=MB=1， ∴M（0，1）。 （2）由A，B，C三点的特殊性与对称性， 知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c ∵OC=MC-MO=1， ∴C（0，-1），B（，0） ∴ ∴。 （3）∵ 又与AB均为定值 ∴当△ABD边AB上的高最大时，S△ABD最大， 此时点D为⊙M与y轴的交点，如图 ∴。
（4）如图，∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°， ∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°， 设且x＞0，则 又∵的坐标满足 ∴在抛物线上，存在点 使 由抛物线的对称性，知点也符合题意 ∴存在点P，它的坐标为或。

据专家权威分析，试题“如图，在⊙M中，所对的圆心角为120°，已知圆的半径为2cm，并建立如..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直角三角形的性质及判定，三角形的周长和面积，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直角三角形的性质及判定三角形的周长和面积相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。