①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
点拨：
解∵顶点坐标为（-1，-2），
故设二次函数解析式为y=a(x+1)²-2 （a≠0）。
把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)²-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)²-2，即y=3x²+6x+1。

②典型例题二：
如果a>0，那么当 时，y有最小值且y_最小=；
如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y_最大=。
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
点拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
故可设函数解析式为y＝a(x－4)²－3。
将（1，0）代入得0＝a(1－4)²－3, 解得a＝13．
∴y＝13(x－4)²-3，即y＝13x²－83x＋73。
③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例如：
（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨：
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：一次函数的图像

• 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
  一次函数的图象：一条直线，过（0，b），（，0）两点。

• 性质：
  （1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
  （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。
  
  k，b决定函数图像的位置：
  y=kx时，y与x成正比例：
  当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
  当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
  y=kx+b时：
  当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
  当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
  当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
  当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
  当b>0时，直线必通过第一、二象限；
  当b<0时，直线必通过第三、四象限。
  特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
  这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。
  当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

• 特殊位置关系：
  当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
  当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的
  

• 画法：
  （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
  （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
  一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
  正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
  （3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
  

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
  当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
  当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。